Решить диф. уравнение[tex]y=x(y'-xcosx)[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного дифференциального уравнения можно использовать метод интегрирования по частям.

Учитывая, что уравнение имеет вид:
[y = x(y' - x\cos(x))]

Мы можем переписать его в виде:
[y = xy' - x^2\cos(x)]

Теперь дифференцируем обе части уравнения:
[y' = (xy)' - (x^2\cos(x))']
[y' = y + xy' - 2x\cos(x)]

Теперь можно выразить y' из уравнения:
[y' - xy' = y - 2x\cos(x)]
[(1 - x)y' = y - 2x\cos(x)]
[y' = \frac{y - 2x\cos(x)}{1 - x}]

Введем обозначение: (v = y - 2x\cos(x))
Тогда:
[v' = y' + 2\cos(x) - 2x\sin(x)]

Подставляем найденное значение для y' в выражение выше:
[v' = \frac{v}{1 - x} + 2\cos(x) - 2x\sin(x) + 2\cos(x) - 2x\sin(x)]
[v' = \frac{v}{1 - x} + 4\cos(x) - 4x\sin(x)]

Теперь решим дифференциальное уравнение для функции v:
[v' - \frac{v}{1 - x} = 4\cos(x) - 4x\sin(x)]

Данное уравнение можно решить методом интегрирующего множителя, чтобы найти решение для v, а затем получить решение для y после этого.