Дан треугольник ABC с координатами вершин A(21;0;0), B(0;21;0),C(0;0;21), найти: площадь , периметр , медиану , углы A, B, C .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала, найдем длины сторон треугольника ABC и его периметр:

AB = √((21-0)^2 + (0-21)^2 + (0-0)^2) = √(21^2 + 21^2) = √882 ≈ 29.7

BC = √((0-0)^2 + (21-0)^2 + (0-21)^2) = √(21^2 + 21^2) = √882 ≈ 29.7

AC = √((21-0)^2 + (21-0)^2 + (21-0)^2) = √(21^2 + 21^2 + 21^2) = √1323 ≈ 36.4

Периметр треугольника ABC: P = AB + BC + AC ≈ 29.7 + 29.7 + 36.4 ≈ 95.8

Теперь найдем площадь треугольника ABC, используя формулу Герона:

s = P/2 = 95.8 / 2 = 47.9

Площадь треугольника ABC: S = √(s(s - AB)(s - BC)(s - AC)) = √(47.9 18.1 18.1 11.5) ≈ 233.6

Далее найдем медиану треугольника из вершины A, которая делит сторону BC пополам. Точка пересечения медиан называется центром тяжести треугольника:

Медиана из вершины A: AM = √((0 + 0 + 21)/3 ; (21 + 0 + 0)/3 ; (0 + 21 + 21)/3) = √(7 ; 7 ; 14) = √(7^2 + 7^2 + 14^2) ≈ √294 ≈ 17.1

Теперь найдем углы треугольника ABC, используя косинусную теорему:

Угол A = arccos((BC^2 + AC^2 - AB^2) / (2 BC AC)) ≈ arccos((29.7^2 + 36.4^2 - 21^2) / (2 29.7 36.4)) ≈ arccos(0.381) ≈ 68.8°

Угол B = arccos((AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 AB AC)) ≈ arccos((29.7^2 + 36.4^2 - 21^2) / (2 29.7 36.4)) ≈ arccos(0.381) ≈ 68.8°

Угол C = arccos((AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 AB BC)) ≈ arccos((29.7^2 + 29.7^2 - 36.4^2) / (2 29.7 29.7)) ≈ arccos(0.382) ≈ 68.7°

Таким образом, площадь треугольника ABC равна примерно 233.6, периметр равен примерно 95.8, медиана из вершины A равна примерно 17.1, а углы равны приблизительно 68.8°.