Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями:a)y=4+x^2 , y=2-x , x= -1 и x=1б)y=x^3 , y=1 и x=2в)y=9-x^2 и y=3-xг)y=x^2 -2x и y=x-2д)y=x^3 -3x^2 и y=x^2 -4x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Найдем точки пересечения линий y=4+x^2 и y=2-x:
4+x^2 = 2-x
x^2 + x - 2 = 0
(x+2)(x-1) = 0
x=-2 или x=1

Площадь фигуры ограниченной этими линиями равна:
∫[1, -1] (4+x^2 - (2-x))dx = ∫[1, -1] (3+x^2+x)dx = [3x + (x^3)/3 + (x^2)/2] |[1, -1] = -2.5

б) Площадь фигуры ограниченной линиями y=x^3, y=1 и x=2 равна:
∫[2, 0] (x^3 - 1)dx = [(x^4)/4 - x] |[2, 0] = 2

в) Найдем точки пересечения линий y=9-x^2 и y=3-x:
9-x^2 = 3-x
x^2 - x - 6 = 0
(x-3)(x+2) = 0
x=3 или x=-2

Площадь фигуры ограниченной этими линиями равна:
∫[3, -2] ((9-x^2)-(3-x))dx = ∫[3, -2] (6-2x+x^2)dx = [6x - (x^2)/2 + (x^3)/3] |[3, -2] = 18.5

г) Найдем точки пересечения линий y=x^2-2x и y=x-2:
x^2 - 2x = x - 2
x^2 - 3x + 2 = 0
(x-1)(x-2) = 0
x=1 или x=2

Площадь фигуры ограниченной этими линиями равна:
∫[2, 1] (x^2-2x - (x-2))dx = ∫[2,1] (x^2-3x+2)dx = [x^3/3 - (3x^2)/2 + 2x] |[2,1] = 1/3

д) Найдем точки пересечения линий y=x^3-3x^2 и y=x^2-4x:
x^3 - 3x^2 = x^2 - 4x
x^3 - 4x^2 + 4x = 0
x(x^2 - 4x + 4) = x(x-2)^2 = 0
x=0 или x=2

Площадь фигуры ограниченной этими линиями равна:
∫[2, 0] (x^3-3x^2-(x^2-4x))dx = ∫[2, 0] (x^3-4x^2+4x)dx = [x^4/4 - x^3 + 2x^2] |[2,0] = -8.6667