Используя кратные интегралы, найти объём тела заданного уравнениями: 3х+2у=12, z=0, 3x+y=6, x+y+z=6, y=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данная система уравнений ограничивает пространство в первом октанте. Используем кратные интегралы для нахождения объема тела, ограниченного этими поверхностями.

Сначала найдем точки пересечения данных плоскостей:
1) Первые две плоскости: 3x + 2y = 12 и 3x + y = 6
Решив данную систему уравнений, получим:
y = 2 и x = 2
Следовательно, точка пересечения данных плоскостей равна (2, 2)

2) Плоскости y = 0 и x + z = 6
Подставим y = 0 в уравнение x + z = 6:
x + z = 6
То есть, x = 6, z = 0
Точка пересечения данных плоскостей равна (6, 0, 0)

Теперь найдем интеграл для объема тела:
V = ∬R dV
где R - проекция фигуры на плоскость xOy
V = ∬R dV = ∬R dxdy

Пределы интегрирования:
x: 2 ≤ x ≤ 6
y: 0 ≤ y ≤ 3

Таким образом, объем тела равен:
V = ∭ 3x + 2y - 12 dxdydz, где x от 2 до 6, y от 0 до 3, z от 0 до 6

Вычислив данную тройной интеграл, найдем объем тела, ограниченного данными поверхностями.