Вычислить интеграл:
[tex]\int\limits {\frac{1+x^{2} }{1+x^{4} } } \, dx[/tex]
С подробным решением

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления данного интеграла воспользуемся методом частичных дробей.

Сначала разложим дробь на простейшие:
[tex]\frac{1+x^{2} }{1+x^{4} } = \frac{Ax + B}{x^{2}+1} + \frac{Cx + D}{x^{2}-1}[/tex]

Умножим обе части уравнения на знаменатель:
[tex]1 + x^{2} = (Ax + B)(x^{2} - 1) + (Cx + D)(x^{2} + 1)[/tex]
[tex]1 + x^{2} = Ax^{3} - Ax + Bx^{2} - B + Cx^{3} + Cx + Dx^{2} + D[/tex]

Сгруппируем по степеням x:
[tex]1 + x^{2} = (A + C)x^{3} + (B + D)x^{2} + (C + D)x + (-A - B + D)[/tex]

Теперь сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:
1) [tex]A + C = 0[/tex]
2) [tex]B + D = 1[/tex]
3) [tex]C + D = 0[/tex]
4) [tex]-A - B + D = 1[/tex]

Решив данную систему уравнений, получим:
[tex]A = \frac{1}{2}[/tex]
[tex]B = \frac{1}{2}[/tex]
[tex]C = -\frac{1}{2}[/tex]
[tex]D = -\frac{1}{2}[/tex]

Итак, разложим исходную дробь:
[tex]\frac{1+x^{2} }{1+x^{4} } = \frac{\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}}{x^{2} + 1} + \frac{-\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}}{x^{2} - 1}[/tex]

Теперь вычислим интеграл:
[tex]\int\limits {\left( \frac{\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}}{x^{2} + 1} + \frac{-\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}}{x^{2} - 1} \right)} \, dx[/tex]

Антипроизводная первого слагаемого:
[tex]\frac{1}{2}\int\limits {\frac{x}{x^{2} + 1}} \, dx + \frac{1}{2}\int\limits {\frac{1}{x^{2} + 1}} \, dx[/tex]
[tex]\frac{1}{2}ln|x^{2}+1| + \frac{1}{2}arctg(x) + C_{1}[/tex]

Антипроизводная второго слагаемого:
[tex]-\frac{1}{2}\int\limits {\frac{x}{x^{2} - 1}} \, dx - \frac{1}{2}\int\limits {\frac{1}{x^{2} - 1}} \, dx[/tex]
[tex]-\frac{1}{4}ln|x^{2}-1| - \frac{1}{4}ln|x^{2} - 1| + C_{2}[/tex]

Таким образом, итоговый ответ:
[tex]\frac{1}{2}ln|x^{2}+1| + \frac{1}{2}arctg(x) - \frac{1}{4}ln|x^{2}-1| - \frac{1}{4}ln|x^{2} - 1| + C[/tex]