Дисперсия каждой из 30000 случайных величин не превышает 6. Какой должна быть верхняя граница абсолютной величины отклонения средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математических ожидании, чтобы вероятность такого отклонения превышала 0,92?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дисперсия случайной величины X равна E[(X - E[X])^2]. Пусть X1, X2, ..., X30000 - случайные величины.

Так как дисперсия каждой случайной величины не превышает 6, то E[(Xi - E[Xi])^2] <= 6. Из этого следует, что для среднего арифметического Y = (X1 + X2 + ... + X30000)/30000 E[(Y - E[Y])^2] = E[(Xi - E[Xi])^2]/30000 <= 6/30000 = 0.0002

Так как нам нужно найти верхнюю границу абсолютной величины отклонения средней арифметической от средней арифметической их математических ожиданий, то обозначим эту величину как epsilon. По определению вероятности: P(|Y - E[Y]| > epsilon) <= E[(Y - E[Y])^2]/epsilon^2.

Подставляем значения и находим epsilon: P(|Y - E[Y]| > epsilon) <= 0.0002/epsilon^2 > 0.92
epsilon^2 > 0.0002/0.92
epsilon > sqrt(0.0002/0.92) ≈ 0.014264

Ответ: верхняя граница абсолютной величины отклонения должна быть больше 0,014264.