1) Для начала найдем точки пересечения линий:
y = x^2 + 1 и y = 2x^2 + 1 = 2x^2 = 1x = ±1
Точки пересечения: (-1, 2) и (1, 2)
Теперь найдем площадь фигуры между этими двумя кривыми и осью x:
S = ∫[-1, 1] (x^2 + 1 - 2) dxS = ∫[-1, 1] (x^2 - 1) dxS = [1/3x^3 - x] [-1, 1]S = (1/31^3 - 1) - (1/3(-1)^3 + 1)S = (1/3 - 1) - (1/3 + 1)S = (1/3 - 1) - (1/3 + 3/3)S = 1/3 - 1 - 1/3 - 1S = -2
Следовательно, площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2+1, y=2 и осью x равна 2.
2) Следуя аналогичным шагам, найдем точки пересечения линий:
y = x + 1 и y = 4x + 1 = 4x = 3
Точка пересечения: (3, 4)
y = x + 1 и y = 0x + 1 = 0x = -1
Точка пересечения: (-1, 0)
Теперь найдем площадь фигуры между этими кривыми и осью x:
S = ∫[-1, 3] (4 - x - 0) dxS = ∫[-1, 3] (4 - x) dxS = [4x - x^2/2] [-1, 3]S = (43 - 3^2/2) - (4(-1) - (-1)^2/2)S = (12 - 9/2) - (-4 + 1/2)S = (12 - 4.5) - (-4 + 0.5)S = 7.5 + 3.5S = 11
Таким образом, площадь фигуры ограниченной линиями y=x+1, y=4, y=0 и осью x равна 11.
1) Для начала найдем точки пересечения линий:
y = x^2 + 1 и y = 2
x^2 + 1 = 2
x^2 = 1
x = ±1
Точки пересечения: (-1, 2) и (1, 2)
Теперь найдем площадь фигуры между этими двумя кривыми и осью x:
S = ∫[-1, 1] (x^2 + 1 - 2) dx
S = ∫[-1, 1] (x^2 - 1) dx
S = [1/3x^3 - x] [-1, 1]
S = (1/31^3 - 1) - (1/3(-1)^3 + 1)
S = (1/3 - 1) - (1/3 + 1)
S = (1/3 - 1) - (1/3 + 3/3)
S = 1/3 - 1 - 1/3 - 1
S = -2
Следовательно, площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2+1, y=2 и осью x равна 2.
2) Следуя аналогичным шагам, найдем точки пересечения линий:
y = x + 1 и y = 4
x + 1 = 4
x = 3
Точка пересечения: (3, 4)
y = x + 1 и y = 0
x + 1 = 0
x = -1
Точка пересечения: (-1, 0)
Теперь найдем площадь фигуры между этими кривыми и осью x:
S = ∫[-1, 3] (4 - x - 0) dx
S = ∫[-1, 3] (4 - x) dx
S = [4x - x^2/2] [-1, 3]
S = (43 - 3^2/2) - (4(-1) - (-1)^2/2)
S = (12 - 9/2) - (-4 + 1/2)
S = (12 - 4.5) - (-4 + 0.5)
S = 7.5 + 3.5
S = 11
Таким образом, площадь фигуры ограниченной линиями y=x+1, y=4, y=0 и осью x равна 11.