Исследовать сходимость ряда, пользуясь признаком сравнения :
1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для исследования сходимости данного ряда 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/n^2 используем признак сравнения с p-ризрядом.

Посмотрим на сумму:
S = 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/n^2

Сравним ее с p-ризрядом. Выберем p = 2, тогда получим:

1/n^2 <= 1/n^2, где n >= 1

Теперь рассмотрим ряд:
2 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/n^2

Мы замечаем, что каждое слагаемое этого ряда больше соответствующего слагаемого в последовательности S.

Таким образом, получаем:
1 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/n^2 <= 2 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/n^2

Так как ряд 2 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/n^2 сходится (это ряд p-ризряд), то исходный ряд 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/n^2 сходится.

Таким образом, исследование сходимости ряда с использованием признака сравнения показывает, что данный ряд сходится.