Для доказательства данного утверждения воспользуемся определением производной функции.
По определению производной, производной функции f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю:
f'(x) = lim (f(x + Δx) - f(x)) / Δx, где Δx -> 0.
Рассмотрим функцию f(x) = (x^3). Ее производная будет равна:
Для доказательства данного утверждения воспользуемся определением производной функции.
По определению производной, производной функции f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю:
f'(x) = lim (f(x + Δx) - f(x)) / Δx, где Δx -> 0.
Рассмотрим функцию f(x) = (x^3). Ее производная будет равна:
f'(x) = lim ((x + Δx)^3 - (x^3)) / Δx, где Δx -> 0.
Раскроем скобки в числителе:
f'(x) = lim (x^3 + 3x^2Δx + 3x(Δx)^2 + (Δx)^3 - x^3) / Δx, где Δx -> 0.
f'(x) = lim (3x^2Δx + 3x(Δx)^2 + (Δx)^3) / Δx, где Δx -> 0.
Упростим выражение, убрав общий сомножитель Δx и перенеся предел внутрь:
f'(x) = lim (3x^2 + 3xΔx + Δx^2), где Δx -> 0.
Так как Δx стремится к нулю, то выражение 3xΔx и Δx^2 также стремятся к нулю. Поэтому можем упростить выражение:
f'(x) = 3x^2.
Таким образом, производная функции f(x) = (x^3) равна 3x^2. Это доказывает утверждение.