Найти объём тела ограниченного поверхностями z=3y^2,z=4-y^2,x=-2,x=1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем точки пересечения поверхностей.
Приравняем z и найдем y для точек пересечения:

3y^2 = 4 - y^2
4y^2 = 4
y^2 = 1
y = ±1

Таким образом, точки пересечения поверхностей будут (x, y, z): (-2, 1, 3), (-2, -1, 3), (1, 1, 3), (1, -1, 3).

Теперь найдем границы интегрирования для x.

x изменяется от -2 до 1.

Общий объем тела можно найти с помощью тройного интеграла:

V = ∫ [-2,1] ∫[-1,1] ∫[3y^2,4-y^2] dz dy dx

V = ∫ [-2,1] ∫[-1,1] (4-y^2 - 3y^2) dy dx
V = ∫ [-2,1] ∫[-1,1] (4 - 4y^2) dy dx
V = ∫ [-2,1] [4y - (4/3)y^3] | -1,1 dx
V = ∫ [-2,1] [(4 - (4/3)) - 0] dx
V = ∫ [-2,1] [(12/3 - 4/3)] dx
V = ∫ [-2,1] 8/3 dx
V = [8/3 x] | -2,1
V = 8/3 (1 - (-2))
V = 8/3 * 3
V = 8

Объем тела, ограниченного указанными поверхностями, равен 8 единицам кубических.