В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 AC=6, AA1=8. Через вершину A проведена плоскость, пересекающая рёбра BB1 и CC1 соответственно в точках M и N. Известно, что BM=MB1, а AN является биссектрисой угла CAC1.
1) Построить сечение AMN.
2) Найти, в каком отношении эта плоскость делит объём призмы.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Поскольку BM=MB1, то треугольник MB1N - равнобедренный и MN = B1N = BM.
Также, по условию, AN - биссектриса угла CAC1, значит угол MAN = MAC1.

Таким образом, получаем, что треугольник MAN - равнобедренный, а значит AN = AM.

Таким образом, AMN - равносторонний треугольник.

2) Заметим, что вся призма ABCA1B1C1 делится плоскостью на два тетраэдра: MANCB1 и MANAC1.

Объём тетраэдра: V = (1/3) S h, где S - площадь основания, h - высота.

Высота равнобедренного треугольника AMN: h = МаN = B1N

Сначала найдем площадь треугольника AMN:
S = (1/2) AM MN = (1/2) AM^2 sinMAN = (1/2) AM^2 sin60° = (1/2) AM^2 √3 / 2 = (3√3 / 4) * AM^2

Теперь найдем объемы тетраэдров:
V(MANCB1) = (1/3) S(MAN) h(MANCB1) = (1/3) (3√3 / 4) AM^2 MN = (AM^2 MN √3) / 4
V(MANAC1) = (1/3) S(MAN) h(MANAC1) = (1/3) (3√3 / 4) AM^2 MN = (AM^2 MN √3) / 4

Таким образом, плоскость делит объем призмы на две равные части.