Для нахождения данного интеграла, разложим числитель на отдельные слагаемые:

(sin^4(x) + cos^4(x)) = (sin^2(x))^2 + (cos^2(x))^2 = sin^2(x) + (1 - sin^2(x))^2 = sin^2(x) + 1 - 2sin^2(x) + sin^4(x) = 1 - sin^2(x) + sin^4(x)

Теперь поделим числитель на знаменатель (cos^2(x) - sin^2(x)):

(1 - sin^2(x) + sin^4(x)) / (cos^2(x) - sin^2(x)) = (-cos^2(x) + cos^4(x) - cos^2(x)sin^2(x)) / (cos^2(x) - sin^2(x)) = -cos^2(x) + cos^4(x) - cos^2(x)sin^2(x)

Интегрируем полученное выражение:

∫(-cos^2(x) + cos^4(x) - cos^2(x)sin^2(x)) dx = -∫cos^2(x) dx + ∫cos^4(x) dx - ∫cos^2(x)sin^2(x) dx

Интеграл от cos^2(x) равен -x/2 + sin(x)cos(x)/2 + C, где C - произвольная постоянная.

Интеграл от cos^4(x) можно найти с помощью формулы двойного угла для косинуса:

∫cos^4(x) dx = ∫(1 + cos(2x))/2 dx = ∫(1/2 + cos(2x)/2) dx = x/2 + sin(2x)/4 + C

Используем формулу приведения для интеграла от произведения косинусов:

∫cos^2(x)sin^2(x) dx = -∫cos^2(x)(1-cos^2(x)) dx = -∫(cos^2(x) - cos^4(x)) dx

Интегрируем последний интеграл, как ранее найденные:

∫(cos^2(x) - cos^4(x)) dx = -x/2 + sin(x)cos(x)/2 - x/4 - sin(2x)/8 + C

Теперь сложим все найденные интегралы:

-(-x/2 + sin(x)cos(x)/2) + (x/2 + sin(2x)/4) - (-x/2 + sin(x)cos(x)/2 - x/4 - sin(2x)/8) + C = 1/4 x + 1/4 sin(2x) + C