Найти координаты вектора в базисе Здравствуйте!
Помогите выполнить задание:
Даны векторы a (1; 2; 1), b (2; –2; 1), c (1; –2; 0) и d (0; 3; 1). Проверить, образуют ли векторы a, b, c базис, и если да, то найти координаты вектора d в этом базисе.
Спасибо!

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы проверить, образуют ли векторы a, b, c базис, необходимо убедиться, что эти векторы линейно независимы. Для этого составим матрицу из координат этих векторов:

|1 2 1|
|2 -2 1|
|1 -2 0|

Приведем эту матрицу к ступенчатому виду:
|1 2 1|
|0 -6 -1|
|0 0 -1|

Из ступенчатого вида матрицы видно, что строки линейно независимы, а значит векторы a, b, c образуют базис.

Для нахождения координат вектора d в этом базисе, решим систему уравнений:
d = x a + y b + z c

где d = (0; 3; 1)

Подставляем значения в систему уравнений и решаем ее:
(0; 3; 1) = x (1; 2; 1) + y (2; -2; 1) + z (1; -2; 0)

Это дает нам систему трех уравнений:
x + 2y + z = 0
2x - 2y - 2z = 3
x + y = 1

Решая эту систему уравнений, получим:
x = 2
y = -1
z = -1

Таким образом, координаты вектора d в базисе a, b, c равны (2; -1; -1).