Y' = (x-y)/(x-2y) решите уравнение Добрый день!
Помогите решить уравнение с производной первого порядка
y’ = (x-y)/(x-2y)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного дифференциального уравнения с производной первого порядка нужно использовать метод разделения переменных.

Преобразуем уравнение:
y' = (x - y) / (x - 2y)

Разделим числитель и знаменатель на x:
y' = (1 - y/x) / (1 - 2y/x)

Умножим обе стороны на dx:
(1 - y/x) / (1 - 2y/x) dx = dy

Разделим дробь на числитель и знаменатель:
(1 - y/x) dx / (1 - 2y/x) = dy

Введем подстановку z = y/x:
dy = dz x + z dx
y' = dz * x + z

Подставим новые значения в уравнение:
(1 - z) dx / (1 - 2z) = (dz * x + z) dx

Разделим дробь на числитель и знаменатель:
(1 - z) / (1 - 2z) = (dz + z) / x

Разделим обе стороны на (1 - z):
1 / (1 - 2z) = (dz + z) / x

Решим данное уравнение и получим:
dz = (1 - z) / (1 - 2z) dx

Проинтегрируем обе стороны:
∫(1 - 2z) dz = ∫dx

Решим интегралы:
z - z^2 = x + C

Подставим обратно z = y/x:
y/x - (y/x)^2 = x + C

Итоговый ответ:
y(x) = Cx / (1 - x)
где C - произвольная постоянная.