Задача Коши для однородного уравнения 2 порядка 4y»+4y’+y=0 y(0)=2,y'(0)=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано уравнение:
4y'' + 4y' + y = 0

Сначала найдем общее решение данного однородного уравнения. Для этого решим характеристическое уравнение:
4r^2 + 4r + 1 = 0

D = 4^2 - 441 = 16 -16 = 0

r = -b/2a = -4 / 2*4 = -1/2

Таким образом, имеем корень r = -1/2 кратности 2. Общим решением будет:
y(t) = (C1 + C2t)e^(-t/2)

Теперь найдем первую производную:
y'(t) = C2e^(-t/2) - (1/2)(C1 + C2t)*e^(-t/2)

Подставляем начальные условия:
y(0) = 2:
(C1)*e^(-0/2) = 2
C1 = 2

y'(0) = 0:
C2e^(-0/2) - (1/2)(2 + C20)*e^(-0/2) = 0
C2 - 1 = 0
C2 = 1

Итак, у нас получается, что C1 = 2 и C2 = 1. Подставляем обратно:
y(t) = (2 + t)*e^(-t/2)

Таким образом, найденное решение задачи Коши для данного уравнения - y(t) = (2 + t)*e^(-t/2)