Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника пересекает Здравствуйте!
Задача полностью звучит так: «Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника пересекает боковую сторону и равна основанию треугольника. Найти углы данного треугольника». Помогите, пожалуйста, решить!
Спасибо!

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте обозначим основание равнобедренного треугольника как (a), боковую сторону как (b) и биссектрису как (c).

Так как биссектриса делит угол при основании на две равные части, то у нас получается два равных прямоугольных треугольника. Пусть (x) - угол при основании равнобедренного треугольника.

Из теоремы косинусов для прямоугольного треугольника мы знаем, что (c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(x)) для обоих треугольников.

Так как биссектриса пересекает боковую сторону и равна основанию треугольника, то (c = a) и у нас получается уравнение:
[a^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(x)]

Упростим его:
[0 = b^2 - 2ab\cos(x)]

Поскольку у нас равнобедренный треугольник, то (b = a), и уравнение упрощается до:
[0 = a^2 - 2a^2\cos(x)]
[0 = a^2(1 - 2\cos(x))]

Отсюда получаем, что (1 - 2\cos(x) = 0) или (\cos(x) = \frac{1}{2}). Это означает, что (x = 60^\circ).

Итак, углы равнобедренного треугольника равны: (60^\circ, 60^\circ, 60^\circ).