Непрерывная случайная величина х задана плотностью распределения
Непрерывная случайная величина х задана плотностью распределения:

Найти:
а) значение a, при котором функция f(x) является плотностью распределения непрерывной случайной величины x;
б) математическое ожидание M[x] и дисперсию D[x];
в) среднеквадратическое отклонение.
Спасибо!

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти значение a, при котором функция f(x) является плотностью распределения, необходимо найти интеграл от функции f(x) на всей числовой прямой и приравнять его к 1, так как сумма всех вероятностей должна быть равна 1.

Итак, первым шагом найдем значение a:
∫ f(x) dx = ∫ a(x^2 - 4x) dx = a(x^3/3 - 2x^2) = a/3(x^3 - 6x^2)

Теперь интегрируем по всей числовой прямой и приравниваем к 1:
a/3(x^3 - 6x^2) | от -бесконечности до +бесконечности = 1
(a/3)(+∞ - (-∞)) = 1
(a/3)(+∞ + ∞) = 1
(a/3)(2∞) = 1
2a/3 * ∞ = 1

Таким образом, a = 3/2.

Далее:
б) Математическое ожидание M[x] найдем по формуле:
M[x] = E[x] = ∫ xf(x) dx = ∫ x(3/2)(x^2 - 4x) dx = (3/2)∫ (x^3 - 4x^2) dx = (3/2)((x^4)/4 - (4x^3)/3) = 3(x^4)/8 - 2(x^3)

Чтобы найти дисперсию D[x], сначала найдем второй момент:
E[x^2] = ∫ x^2f(x) dx = ∫ x^2(3/2)(x^2 - 4x) dx = (3/2)∫ (x^4 - 4x^3) dx = (3/2)((x^5)/5 - x^4) = 3(x^5)/10 - 2(x^4)

Теперь можем найти дисперсию:
D[x] = E[x^2] - (E[x])^2 = (3(x^5)/10 - 2(x^4)) - (3(x^4)/8 - 2(x^3))^2

в) Среднеквадратическое отклонение равно корню из дисперсии:
σ = √D[x]

Вычислить конкретные значения M[x], D[x] и σ можно, если задан конкретный интервал, на котором происходит распределение.