найдите частичное решение уравнения y''+10y'+25y=0, y'(0)=2, y(1/5)=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения частичного решения данного уравнения нужно составить характеристическое уравнение, а затем решить его.

Характеристическое уравнение для уравнения второго порядка y'' + 10y' + 25y = 0 имеет вид:
λ^2 + 10λ + 25 = 0

Решаем это уравнение:
(λ + 5)^2 = 0

Отсюда получаем, что у уравнения есть один корень λ = -5 с кратностью 2.

Частичное решение данного уравнения будет иметь вид:
y_p(x) = (Ax + B)e^(-5x)

Теперь используем начальные условия, чтобы найти коэффициенты A и B.

Условие y'(0) = 2:
y_p'(x) = A(-5e^(-5x)) + Be^(-5x)
Подставляем x = 0:
2 = A*(-5) + B

Условие y(1/5) = 0:
y_p(1/5) = (A(1/5) + B)e^(-1)
Подставляем x = 1/5:
0 = (A(1/5) + B)e^(-1)

Решая систему уравнений, найдем коэффициенты A и B:
A = -10
B = -5

Итак, частичное решение уравнения y'' + 10y' + 25y = 0, удовлетворяющее начальным условиям y'(0) = 2 и y(1/5) = 0, имеет вид:
y_p(x) = (-10x - 5)e^(-5x)