Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=3+2х-х^2, y=x+1, y = 0. Сделать чертеж. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=3+2x-x^2, y=x+1, y=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем точки пересечения данных функций.

Для первой функции y=3+2x-x^2 и y=x+1:
3 + 2x - x^2 = x + 1
Переносим все члены в левую часть:
-x^2 + 2x - x - 2 = 0
-x^2 + x - 2 = 0
x^2 - x + 2 = 0

Найдем корни уравнения:
D = (-1)^2 - 4 1 2 = 1 - 8 = -7 (D < 0)

Уравнение не имеет действительных корней, значит графики данных функций не пересекаются.

Для функции y=3+2x-x^2 и y=x+1:
3 + 2x - x^2 = x + 1
-x^2 + 2x - x + 2 = 0
-x^2 + x + 2 = 0

Найдем корни уравнения:
D = 1^2 - 4 (-1) 2 = 1 + 8 = 9
x1,2 = (-1 ± √9) / (-2)
x1 = (1 + 3) / (-2) = 2 / -2 = -1
x2 = (1 - 3) / (-2) = -2 / -2 = 1

Точки пересечения: (-1, 0), (1, 2).

Теперь построим графики данных функций:

y=3+2x-x^2:
Форма графика будет параболой, вершина которой находится в точке (1, 4).

y=x+1:
Форма графика будет прямой линией, проходящей через точку (0, 1).

Теперь вычислим площадь фигуры между графиками функций y=3+2x-x^2 и y=x+1, ограниченную осью OX (y=0) и точками пересечения:

∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx, где f(x) = 3+2x-x^2, g(x) = x+1, a = -1, b = 1.

Получаем:
S = ∫[-1,1] ((3+2x-x^2)-(x+1)) dx
S = ∫[-1,1] (2x- x^2 - 1) dx
S = (x^2 - (x^3 / 3) - x) |[-1,1]
S = [(1 - 1/3 - 1) - ((1 - 1/3 - 1)] = [(2/3) - (-2/3)] = 4/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=3+2x-x^2 и y=x+1, ограниченной осью OX (y=0) и точками пересечения, составляет 4/3 кв. ед.

Построим графики функций.