По периметру прямоугольного парка проложили две велосипедные дорожки. Найдите расстояние...
По периметру прямоугольного парка
проложили две велосипедные дорожки.
Найдите расстояние между дорожками,
если одна из них на 1 км длиннее
другой. ДАМ 65 БАЛЛОВ!!!!!!!!!!!!!!!

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть длина прямоугольника равна ( a ), а ширина ( b ). Тогда периметр равен ( P = 2a + 2b ).

Пусть одна велосипедная дорожка длиной ( x ) км находится от края парка на расстоянии ( d ) км, а вторая дорожка длиной ( x + 1 ) км находится от края парка на расстоянии ( d + 1 ) км.

Тогда имеем систему уравнений:
[
\begin{cases}
d + (a-x) + (b-x) + d = P \
d + 1 + (a-x-1) + (b-x-1) + d + 1 = P
\end{cases}
]

Упростим и решим систему:
[
\begin{cases}
2d + a + b - 2x = 2a + 2b \
2d + a + b + 2 - 2x = 2a + 2b
\end{cases}
]

Выразим ( x ) из первого уравнения:
[ x = \frac{2d + a + b - 2a - 2b}{2} = d + \frac{a-b}{2} ]

Подставим это во второе уравнение:
[ d + \frac{a-b}{2} + 2 = 2a + 2b ]
[ 2d + a - b + 1 = 4a + 4b ]
[ 2d = 3a + 3b + b - 1 ]
[ d = \frac{3(a+b) + b - 1}{2} ]

Таким образом, расстояние между дорожками равно ( \frac{3(a+b) + b - 1}{2} ) км.