В треугольнике АВС медиана СЕ перпендикулярна биссектрисе АD. Докажите, что АВ=2АС.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим точку пересечения медианы и биссектрисы как точку О. Тогда мы имеем, что угол AOE прямой, так как медиана перпендикулярна биссектрисе.

Также, так как медиана делит сторону пропорционально 2:1, то мы можем записать:

AO/OD = 1

Согласно теореме синусов в треугольнике AOE:

sin(AOE) = AE/OE

Так как sin(AOE) = sin(90-<CAD) = sin(<DAC) = AD/AC, то мы можем записать:

AE/OE = AD/AC

Также, так как АD=DC (биссектриса делит угол пополам), то AD = 2DC. Подставим это в предыдущее равенство:

AE/OE = 2DC/AC

Так как медиана также делит сторону пропорционально 2:1, то OE=2OC. Подставим это в предыдущее равенство:

AE/2OC = 2DC/AC

AE = 4DC

Так как медиана делит сторону пропорционально 2:1, то AC=2AE. Подставим это в предыдущее равенство:

AC=2*4DC

AC=8DC

Также, зная что AD=2DC, то AC=4AD. С учетом этого, мы можем записать:

AC+AD=4AD+AD=5AD

AC=5AD

Таким образом, мы получили что АС=5*АD. Также, из того, что медиана делит сторону пропорционально 2:1, мы можем получить что AC=3CE. Таким образом, мы имеем:

3CE=5AD

CE=5/3*AD

Также, мы имеем что АС=2РЕ (из того что медиана делит сторону пропорционально 2:1). Таким образом, мы можем записать:

2CE=5/3*AD

AD=6/5*CE

Следовательно, мы получили что АD=BC, значит мы можем записать:

AB=2AC

Таким образом, мы доказали что АВ=2АС.