Докажите, что при любом натуральном n значение дроби 10n-1/9 является натуральным числом

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для любого натурального числа n, выражение 10n-1 делится на 9 без остатка.

Докажем это по индукции:

База индукции: при n = 1 значение дроби равно (10*1 - 1)/9 = 9/9 = 1, что является натуральным числом.

Предположение индукции: пусть для некоторого k значение дроби (10k - 1)/9 является натуральным числом.

Шаг индукции: докажем, что при k+1 значение дроби тоже будет натуральным числом.

(10(k+1) - 1)/9 = (10k + 10 - 1)/9 = (10k - 1 + 9)/9 = (10k - 1)/9 + 1

По предположению индукции (10k - 1)/9 является натуральным числом, следовательно, (10(k+1) - 1)/9 будет натуральным числом.

Итак, мы доказали, что для любого натурального числа n значение дроби (10n - 1)/9 является натуральным числом.