Сумма S существует и конечна. Найдите ее[tex]S = \frac{1}{3}+\frac{3}{3^2}+\frac{5}{3^3}+\frac{7}{3^4}+...+\frac{2n-1}{3^n}+...[/tex]Примечание: ответ [tex]1-\frac{n+1}{3^n}[/tex] не подходит, требуется найти действительное число.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения суммы S преобразуем каждый член последовательности.

[tex]S = \frac{1}{3}+\frac{3}{3^2}+\frac{5}{3^3}+\frac{7}{3^4}+...+\frac{2n-1}{3^n}+...

3S = 1 + \frac{3}{3}+\frac{5}{3^2}+\frac{7}{3^3}+...+\frac{2n-1}{3^{n-1}}+...

(3-1)S = 1 + \frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+...+\frac{2}{3^{n-1}}+...

2S = 1 + \frac{2}{3}(\frac{1-1/3^{n-1}}{1-1/3})

2S = 1 + \frac{2}{3}(\frac{3^{n-1}-1}{3^{n-1}})

2S = 1 + \frac{2(3^{n-1}-1)}{3^n}

2S = 1 + \frac{2(3^{n-1})-2}{3^n}

2S = \frac{3^{n-1}+1}{3^n}

S = \frac{3^{n-1}+1}{23^n} = \frac{1}{2} + \frac{3^{n-1}}{23^n}

S = \frac{1}{2} + \frac{1}{2*3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3}[/tex]

Поэтому сумма [tex]S[/tex] равна [tex]\frac{2}{3}[/tex].