Три натуральных числа a,b,c таковы, что остаток от деления a на c равен остатку от деления b на c и в два раза меньше остатка от деления a на b. Докажите, что если число a не больше удвоенного числа b, то полусумма чисел a и b делится на c.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть остаток от деления a на с и b на с равен p, тогда можно запиcать:

( p<c , тк p остаток от деления на с)

a=c*n+p

b=c*k+p

a=b*r+2p 

a<=2b (a-2b<=0)

(n,k,r, p-целые неотрицательное числа)

Cначало рассмотрим случай , когда a<b , тогда в этом случае 

Остаток от деления а на b равен a → a=2p

2p=c*n+p

c*n=p

a=2*c*n , но тогда а делится на с без остатка , но тогда p=0 →a=2p=0 (что невозможно ,тк a-натуральное число)

Когда a=b , у нас ситуация ,что p=0 (a+b)/2=a , при этом a -делится на с. Этот частный cлучай подходит.

Рассмотрим теперь случай:

b<a<=2b

n>k

a-2b<=0

a-b*r=2p>=0

a-r*b>=0

Предположим, что r>2 , но тогда : a-r*b<a-2b<=0

a-r*b<0 , но a-r*b>=0 , то мы пришли к противоречию.

Значит возможно 3 варианта : r=0 ;1 ;2

r=0 , соответствует варианту , когда a=2p -этот вариант нам не подходит.

Рассмотрим вариант : r=1

a=b+2p (p≠0 , тк a>b)

b+2p=c*n+p

b=c*n-p

b=c*k+p

Вычтем эти равенства:

c*(n-k)-2p=0

2p=c*(n-k)

(a+b)/2= (c*(n+k) +2p)/2= ( c*(n+k)+c*(n-k) )/2= 2*c*n/2=c*n ,

то есть (a+b)/2 делится на с.

Рассмотрим вариант : r=2

a=2b+2p

a-2b=2p>=0

a-2b<=0 , тогда 2p=0

a=2b

a=c*n+0

b=2*c*n+0 (n=2k)

И вот тут уже видна неточность условия.

Нужно было сказать ,что a не должно быть кратно b (остаток p не равен 0)

Действительно:

a+b=3*c*n делится на с

Но чтобы (a+b)/2 делилось на n , число с должно быть обязательно четным!

Но это необязательно так.

Пусть я возьму:

a=3=3*1+0

b=6=2*3*1+0 (n=1, p=0 ,r=2)

a=2*b+0 

Все условиям удовлетворяет!

a+b=9

Но тогда (a+b)/2 число вообще не целое!!!

Куда уж там до делимости на c.

Вывод : мы доказали, что это утверждение справедливо, но с одним большим НО! Либо a<2b (cтрого!) ,либо a не делится на цело на b ! (остаток от деления a на b не может быть равен 0!)