1. В прямом параллелепипеда стороны основания равны 10 см и 12 см и образуют угол в 30 градусов, а полная поверхность равна 384 см^2. Найдите объем параллелепипеда
2. Исследуйте функцию на монотонность: f(x)=x^3+3x^2-
3. Вычислите (предварительно сделав рисунок) площадь фигуры,ограниченной линиями. y=x^2-4x+5 , y=5.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Первым шагом найдем высоту параллелепипеда. Для этого воспользуемся формулой площади прямоугольного параллелепипеда: S = 2(ab + bc + ac), где a и b - стороны основания, а c - высота.

Из условия задачи дано, что a = 10 см, b = 12 см, S = 384 см^2. Также дано, что угол между сторонами основания равен 30 градусам. Тогда можем найти высоту по формуле:

384 = 2(10*12 + 10c + 12c
384 = 240 + 22
22c = 14
c = 6.545 см

Теперь можем найти объем параллелепипеда:

V = abc = 10126.545 = 785.4 см^3

Ответ: объем параллелепипеда равен 785.4 см^3.

Найдем производную функции f(x): f'(x) = 3x^2 + 6x. Для исследования монотонности функции рассмотрим знак производной на интервалах (-бесконечность; -2), (-2; -1), (-1; 0), (0; +бесконечность).На интервале (-бесконечность; -2): f'(x) < 0На интервале (-2; -1): f'(x) < 0На интервале (-1; 0): f'(x) > 0На интервале (0; +бесконечность): f'(x) > 0

Следовательно, функция f(x)=x^3+3x^2-1 возрастает на интервалах (-бесконечность; -2) и (-1; +бесконечность), и убывает на интервале (-2; -1).

Площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2-4x+5 и y=5, можно найти путем нахождения площади между этими двумя функциями на промежутке их пересечения.

Сначала найдем точку пересечения функций
x^2 - 4x + 5 =
x^2 - 4x =
x(x-4) =
x=0 или x=4

Теперь можем подсчитать площадь фигуры
S = ∫[0;4] (5 - (x^2 - 4x + 5)) d
S = ∫[0;4] (4x - x^2) d
S = [2x^2 - (x^3)/3] [0;4
S = (32 - 64/3) -
S = 32/3

Ответ: площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2-4x+5 и y=5, равна 32/3.