В каждой вершине n-угольника стоит одно из чисел +1 или -1. На каждой стороне написано...
В каждой вершине n-угольника стоит одно из чисел +1 или -1.
На каждой стороне написано произведение чисел, стоящих на концах этой стороны.
Оказалось, что сумма чисел на сторонах равна нулю.
Докажите, что
1) n - четно,
2) n делится на 4.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем это утверждение по шагам:

1) Пусть на вершинах n-угольника стоят числа a1, a2, ..., an. Тогда из условия следует, что a1a2 + a2a3 + ... + ana1 = 0. Данное выражение можно записать в виде (a1 + a3 + ... + an-1) (a2 + a4 + ... + an) = 0. Так как произведение равно нулю, то одно из слагаемых должно быть равно нулю. Это возможно только в том случае, если n - четное число.

2) Поскольку n - четное, то можно разделить все слагаемые на две части: a1, a3, ..., an-1 и a2, a4, ..., an. После этого можно заметить, что каждая из частей содержит равное количество чисел. Пусть это количество равно m. Тогда a1a3...an-1 = 1 и a2a4...an = -1.

Поскольку сумма чисел на сторонах равна нулю, то их произведение также должно равняться 1. Таким образом, (a1a3...an-1) (a2a4...an) = 1 (-1) = -1. Однако, мы ранее установили, что это произведение равно 1. Противоречие.

Следовательно, n должно быть как минимум кратно 4. Также, легко видеть, что в случае, когда n кратно 4, утверждение выполняется.

Таким образом, мы доказали, что n - четно и кратно 4.