Решить неравенство 3*√x - 6 /√х - 2 больше 0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства. Так как в знаменателе есть корень √x, то значение x должно быть больше или равно 0 (x ≥ 0).

Теперь рассмотрим знак неравенства. Для этого выразим √x как x^(1/2):

3√x - 6 /√x - 2 > 0
3x^(1/2) - 6 / x^(1/2) - 2 > 0

Умножаем обе части на x^(1/2) - 2:

3x - 6 - 2x^(1/2) + 4 > 0
x - 2x^(1/2) - 2 > 0

Сделаем замену переменной: y = x^(1/2), тогда y^2 = x. Получим:

y^2 - 2y - 2 > 0

Теперь найдем корни квадратного уравнения y^2 - 2y - 2 = 0:

D = (-2)^2 - 41(-2) = 4 + 8 = 12

y1 = (2 + √12) / 2 = (2 + 2√3) / 2 = 1 + √3
y2 = (2 - √12) / 2 = (2 - 2√3) / 2 = 1 - √3

Теперь построим таблицу знаков:

Итак, решение неравенства y^2 - 2y - 2 > 0:

y ∈ (1 - √3, 1 + √3)

Так как y = x^(1/2), то корни соответствуют значениям √x. Переведем это обратно в x:

1 - √3 < √x < 1 + √3

Возведем обе части в квадрат:

(1 - √3)^2 < x < (1 + √3)^2
3 - 2√3 + 3 < x < 3 + 2√3

2√3 < x < 3 + 2√3

Таким образом, область допустимых значений x - (2√3, 3 + 2√3) для данного неравенства 3*√x - 6 /√x - 2 > 0.