Докажите что при любом значении n 7^n-1 кратно 6; 2^4n-1 кратно 15; 15^n+6 делится 7

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем каждое утверждение по отдельности:

Пусть n - произвольное натуральное число.
Рассмотрим число 7^n-1.
Если n - четное, то 7^n-1 делится на 7-1=6.
Если n - нечетное, то 7^n-1 = 77^(n-1) - 1 = 77' - 1 = 49 - 1 = 48 = 6*8, т.е. также делится на 6.
Таким образом, при любом значении n число 7^n-1 кратно 6.

Пусть m = 4n, где n - произвольное натуральное число.
Рассмотрим число 2^4n-1 = (2^4)^n - 1 = 16^n - 1.
По тождеству разности квадратов a^2 - b^2 = (a+b)(a-b), получаем:
16^n - 1 = (4^n + 1)(4^n - 1).
Рассмотрим два случая:
a) Если n - четное, то 4^n-1 = (2^n)^2 - 1^2 = (2^n+1)(2^n-1), т.е. кратно 3.
Плюс 4^n+1 = (2^n)^2 + 1^2, т.е. равно 5.
Таким образом (4^n + 1)(4^n - 1) кратно 3*5=15.
б) Если n - нечетное, то 4^n-1 = (4^n-1), т.е. кратно 15.
Плюс 4^n+1 = 17, т.е. тоже кратно 15.
Таким образом (4^n + 1)(4^n - 1) кратно 15.
В обоих случаях число 2^4n-1 кратно 15.

Рассмотрим число 15^n + 6.
Если n - четное, то 15^n + 6 = (15^2)^(n/2) + 6 = 225^(n/2) + 6.
По модулю 7, 225 равно 4, т.е. 225^n кратно 4.
Значит 225^n + 6 кратно 4 + 6 = 10, т.е. делится на 10/2=5, ауди на 5 на 7.
Таким образом, при четном n число 15^n+6 делится на 7.
Для нечетных n, воспользуемся аналогичными рассуждениями:
15^n+6 = 15225^((n-1)/2) + 6 = 15225^(n/2)225^(-1) + 6.
(15225^(n/2)225^(-1)) ≡ (15225^(-1)) = 15(1/225) = 15/225 = 1/15 ≡ 1 (mod 7).
Далее, 15225^(n/2)*225^(-1) + 6 ≡ 1 + 6 = 7 (mod 7), т.е. кратно 7.
Таким образом, при любом значении n число 15^n+6 делится на 7.

Таким образом, каждое утверждение доказано.