Найти остаток при делении f(x) на g(x) f(x)= x^(1982) +x+1 и g(x)= x^2-(1+i)x+i

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти остаток при делении многочлена ( f(x) ) на ( g(x) ), нужно сначала разделить ( f(x) ) на ( g(x) ) и найти частное и остаток.

Деление многочленов выглядит следующим образом:
( f(x) = q(x) \cdot g(x) + r(x) ),
где ( q(x) ) - частное, ( r(x) ) - остаток, ( r(x) ) должен быть меньше степени ( g(x) ).

Так как степень ( f(x) ) равна 1982, а степень ( g(x) ) равна 2, то частное может быть многочленом максимальной степени ( (1982-2) = 1980 ) и остаток будет многочленом не более степени 1.

Проведем деление:
Разделим ( x^{1982} + x + 1 ) на ( x^2 - (1+i)x + i ):

( \frac{x^{1982} + x + 1}{x^2 - (1+i)x + i} )

Произведем деление столбиком, чтобы найти частное:

x^1980 + i*x^1979 - i*x^1978 + ... + 1981*i*x + 1982*i + 1983
___________________________________________
x^2 - (1 + i)x + i | x^1982 + x + 1
x^1982 - (1 + i)x^1981 + i*x^1980
___________________________________________
i*x^1981 - i*x^1980 + x + 1
i*x^1981 - (1 + i)x^1980 + i^2*x^1979
___________________________________________
i^2*x^1979 + x + (1+i)
...

После продолжения деления, наш остаток будет ( i^2*x^{1979} + x + (1+i) ).

Таким образом, остаток при делении многочлена ( f(x) = x^{1982} + x + 1 ) на ( g(x) = x^2 - (1+i)x + i ) равен ( i^2*x^{1979} + x + (1+i) ).