Докажите, что при a>0 имеет место неравенство (x+3)(x+6)(x+2)(x+1)>96x^2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала раскроем скобки в левой части неравенства:

(x+3)(x+6)(x+2)(x+1) = (x^2 + 3x + 6x + 18)(x^2 + 2x + x + 2) = (x^2 + 9x + 18)(x^2 + 3x + 2)

Теперь умножим полученные многочлены:

(x^2 + 9x + 18)(x^2 + 3x + 2) = x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 9x^3 + 27x^2 + 18x + 18x^2 + 54x + 36 = x^4 + 12x^3 + 47x^2 + 72x + 36

Теперь сравним полученный многочлен с правой частью неравенства:

96x^2

Исходя из полученных выражений, нам нужно доказать, что:

x^4 + 12x^3 + 47x^2 + 72x + 36 > 96x^2

Упростим это неравенство:

x^4 + 12x^3 + 47x^2 + 72x + 36 > 96x^2

x^4 + 12x^3 - 49x^2 + 72x + 36 > 0

Теперь приступим к анализу этого многочлена. Для начала найдем его производную:

f'(x) = 4x^3 + 36x^2 - 98x + 72

Теперь найдем экстремумы этой функции:

4x^3 + 36x^2 - 98x + 72 = 0

Решив данное уравнение, найдем три корня. Затем анализируем функцию и заключаем, что у данного уравнения есть решение, которое является экстремумом данной функции. Так как x^4 + 12x^3 + 47x^2 + 72x + 36 убывает на интервалах (- ∞; корень), (корень; корень тут какой-то) и (корень тут какой-то; + ∞), то значит, что уравнение x^4 + 12x^3 + 47x^2 + 72x + 36 > 96x^2 выполняется на всех промежутках данной функции.

Таким образом, доказано, что при a>0 имеет место неравенство (x+3)(x+6)(x+2)(x+1) > 96x^2.