Найти значение f(x) при х = 3,1, пользуясь интерполяционной формулой Ньютона, если: f(1) = 3, f(2) = 7, f(3) = 13, f(4) = 21, f(5) = 31, f(6) = 43, f(7) = 57

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения значения f(3,1) воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона.

Узлы интерполяции:
x0 = 1, f(x0) = 3
x1 = 2, f(x1) = 7
x2 = 3, f(x2) = 13

Разделённые разности:
f[1,0] = (f(2) - f(1)) / (x1 - x0) = (7 - 3) / (2 - 1) = 4
f[2,1] = (f(3) - f(2)) / (x2 - x1) = (13 - 7) / (3 - 2) = 6

f[2,0] = (f[2,1] - f[1,0]) / (x2 - x0) = (6 - 4) / (3 - 1) = 1
f[3,2] = (f(4) - f(3)) / (x3 - x2) = (21 - 13) / (4 - 3) = 8

f[3,1] = (f[3,2] - f[2,1]) / (x3 - x1) = (8 - 6) / (4 - 1) = 2
f[4,3] = (f(5) - f(4)) / (x4 - x3) = (31 - 21) / (5 - 4) = 10

Теперь подставим найденные значения в формулу Ньютона:
P3(x) = f0 + f[1,0](x - x0) + f[2,0](x - x0)(x - x1) + f[3,1](x - x0)(x - x1)(x - x2)
P3(3,1) = 3 + 4(0,1) + 1(0,1)(1,1) + 2(0,1)(1,1)(2,1) = 3 + 0,4 + 0,1 + 0,2*1 = 3 + 0,4 + 0,1 + 0,2 = 3,7

Итак, f(3,1) ≈ 3,7.