Доказать , что произведение k последовательных натуральных чисел делится на k!

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Пусть у нас есть k последовательных натуральных чисел: n, n+1, n+2,..., n+k-1.

Тогда произведение этих чисел будет равно n(n+1)(n+2)...(n+k-1).

Теперь докажем, что данное произведение делится на k!.

Для этого заметим, что k! = 123...k. Мы можем выделить в данном произведении следующие множители:

n(n+1)(n+2)...(n+k-1) = (n+1-1)(n+2-1)(n+3-1)...(n+k-1-1).

Теперь мы видим, что каждый множитель в скобках является делителем k!:

(n+1-1) делится на 1,
(n+2-1) делится на 2,
(n+3-1) делится на 3,
...,
(n+k-1-1) делится на k.

Таким образом, произведение n, n+1, n+2,..., n+k-1 делится на k!

Таким образом, мы доказали, что произведение k последовательных натуральных чисел делится на k!.