Здравствуйте, требуется помощь с решением
1) тригонометрического уравнения [tex]sin2x-2sinx+4sin^{2} \frac{x}{2}=0[/tex]
2) неравенства [tex]\frac{1}{(x-2)(x-3)}\leq \frac{-2}{(x-3)(x-5)}[/tex]
Заранее ОГРОМНОЕ спасибо за любую помощь, объяснение!

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Для решения тригонометрического уравнения [tex]\sin2x-2\sin x+4\sin^{2} \frac{x}{2}=0[/tex] можно воспользоваться следующим подходом.

Заметим, что [tex]\sin2x = 2\sin x\cos x[/tex] и [tex]\sin^{2} \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}[/tex]. Подставим это в исходное уравнение:

[tex]2\sin x\cos x - 2\sin x + 4\left(\frac{1 - \cos x}{2}\right)^2 = 0[/tex]
[tex]2\sin x\cos x - 2\sin x + 2(1 - \cos x)^2 = 0[/tex]
[tex]2\sin x\cos x - 2\sin x + 2 - 4\cos x + 2\cos^2 x = 0[/tex]
[tex]2(\sin x\cos x - \sin x + 1 - 2\cos x + \cos^2 x) = 0[/tex]
[tex]2(\cos x -1)(\sin x - \cos x) = 0[/tex]

Отсюда получаем два уравнения:

1) [tex]\cos x = 1[/tex]
2) [tex]\sin x = \cos x[/tex]

1) Решение уравнения [tex]\cos x = 1[/tex] - это [tex]x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}[/tex].

2) Решение уравнения [tex]\sin x = \cos x[/tex] равно [tex]x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}[/tex].

Итак, решения уравнения [tex]\sin2x-2\sin x+4\sin^{2} \frac{x}{2}=0[/tex]: [tex]x = 2\pi n[/tex] и [tex]x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n[/tex].

2) Для решения неравенства [tex]\frac{1}{(x-2)(x-3)} \leq \frac{-2}{(x-3)(x-5)}[/tex] сначала преобразуем его:

[tex]\frac{1}{(x-2)(x-3)} + \frac{-2}{(x-3)(x-5)} \leq 0[/tex]
Теперь найдем общий знаменатель:

[tex]\frac{x-5-2x+6}{(x-2)(x-3)(x-5)} \leq 0[/tex]
[tex]\frac{-x+1}{(x-2)(x-3)(x-5)} \leq 0[/tex]

Знаменатель уравнения можно представить в виде трех интервалов: (-∞, 2), (2, 3), (3, 5), (5, ∞). Проверим знаки на этих интервалах:

1) Подставим значение из интервала (-∞, 2) (например, x=0): получим отрицательное значение, так как числитель отрицателен.
2) Подставим значение из интервала (2, 3) (например, x=2.5): получим положительное значение, так как числитель отрицателен, а знаменатель положителен.
3) Подставим значение из интервала (3, 5) (например, x=4): получим отрицательное значение, так как числитель положителен, а знаменатель отрицателен.
4) Подставим значение из интервала (5, ∞) (например, x=6): получим положительное значение, так как числитель положителен и знаменатель положителен.

Итак, неравенство выполняется на интервалах (2,3) и (5,∞).