При каком наибольшем значении k для любых трёх чисел a, b, c, сумма которых равна 1, выполняется неравенство (a+b)(b+c)(c+a) больше или равно kabc?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Неравенство (a+b)(b+c)(c+a) >= kabc можно преобразовать следующим образом:

(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc >= kabc

Так как a + b + c = 1, то равенство можно продолжить:

(ab+bc+ca) - abc >= kab

Подставим a + b + c = 1 в формулу:

ab + bc + ca - abc >= kab

Далее преобразуем:

ab + bc + ca - abc >= kab

ab(1-c) + bc(1-a) + ca(1-b) >= kab

ab1 + bc1 + ca*1 >= kab

a(b + c) + b(a + c) + c(a + b) >= kab

Так как a + b + c = 1, то b + c = 1 - a, a + c = 1 - b, a + b = 1 - c:

a(1 - a) + b(1 - b) + c(1 - c) >= kab

a - a^2 + b - b^2 + c - c^2 >= kab

1 - a^2 - b^2 - c^2 >= kab

1 - (a^2 + b^2 + c^2) >= kab

1 - ((a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca)) >= kab

1 - (1^2 - 2(ab + bc + ca)) >= kab

1 - 1 + 2(ab + bc + ca) >= kab

2(ab + bc + ca) >= kab

2 >= k

Итак, наибольшее значение k = 2.