Колмогоров задачи повышенной трудности 155Решите неравенство:[tex]4 {x}^{2} + 12x \sqrt{1 + x} \leqslant 27(1 + x)[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала приведем неравенство к более простому виду:

[4x^2 + 12x\sqrt{1 + x} \leq 27(1 + x)]

[4x^2 + 12x\sqrt{1 + x} \leq 27 + 27x]

Перенесем все члены в левую часть неравенства:

[4x^2 + 12x\sqrt{1 + x} - 27 - 27x \leq 0]

Далее преобразуем левую часть:

[4x^2 + 12x\sqrt{1 + x} - 27 - 27x = 4x(x + 3\sqrt{1 + x}) - 27(1 + x) = 4x(x + 3\sqrt{1 + x}) - 27(1 + x)]

Теперь вернемся к неравенству:

[4x(x + 3\sqrt{1 + x}) - 27(1 + x) \leq 0]

[4x(x + 3\sqrt{1 + x}) - 27(1 + x) = x(4x + 12\sqrt{1 + x}) - 27(1 + x) = x(4x + 12\sqrt{1 + x}) - 27(1 + x)]

Факторизуем полученное выражение:

[x(4x + 12\sqrt{1 + x}) - 27(1 + x) = (4x - 27)(x + 3\sqrt{1 + x})]

Теперь неравенство принимает форму:

[(4x - 27)(x + 3\sqrt{1 + x}) \leq 0]

Так как произведение двух множителей должно быть меньше или равно нулю, один из множителей должен быть менее или равен нулю:

[4x - 27 \leq 0 \Rightarrow x \leq \frac{27}{4}]

[x + 3\sqrt{1 + x} \leq 0]

Последнее неравенство не имеет решений для вещественных чисел, так как выражение под корнем всегда положительно.

Таким образом, решением исходного неравенства является множество всех x, таких что (x \leq \frac{27}{4}).