Объем четырехугольной пирамиды равен 16. В основании пирамиды лежит ромб с тупым углом 150 градусов. Найти радиус вписанной в ромб окружности, если боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60 градусов.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем площадь основания ромба. Поскольку площадь четырехугольной пирамиды равна 16, а объем пирамиды равен $\frac{1}{3} S{\text{осн}} h$, где $S{\text{осн}}$ – площадь основания, а $h$ – высота пирамиды, то получаем:
$$16 = \frac{1}{3} S{\text{осн}} h$$
$$S{\text{осн}} h = 48$$

Теперь найдем площадь боковой грани пирамиды. Для этого склеим эту грань в трапецию и разобьем ее на два треугольника. Затем найдем площадь одного из этих треугольников:
$$S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} a l$$
Где $a$ – основание треугольника, $l$ – его высота, равная $h$.

Теперь найдем площадь боковой грани пирамиды:
$$S{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot r \cdot l = \frac{1}{2} rh$$
Поскольку угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 60 градусов, можем записать:
$$S{\text{бок}} = \frac{1}{2} rh = \frac{1}{2} a l = \frac{1}{2} a r \cdot \sin 60^{\circ}$$
$$rh = a r \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$h = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Теперь подставим значение $h$ в уравнение $S{\text{осн}} h = 48$:
$$S{\text{осн}} \cdot \frac{a \cdot \sqrt{3}}{2} = 48$$
$$S_{\text{осн}} \cdot a = \frac{2 \cdot 48}{\sqrt{3}} = 32\sqrt{3}$$

Площадь ромба равна:
$$S_{\text{осн}} = a^2 \cdot \sin 150^{\circ}$$
$$32\sqrt{3} = a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$a^2 = 64$$
$$a = 8$$

Теперь найдем радиус вписанной в ромб окружности. Поскольку угол в центре ромба равен 360 градусов, а угол при основании равен 150 градусов, то угол в центре будет $360 - 2 \cdot 150 = 60$ градусов. Значит, угол при центре окружности равен 60 градусов. Из свойства равнобедренного треугольника, радиус окружности равен половине диагонали ромба. Диагональ ромба равна $2a = 16$, следовательно радиус окружности равен $r_{\text{впис}} = \frac{16}{2} = 8$

Итак, радиус вписанной в ромб окружности равен 8.