На сторонах KL LM треугольника KLM расположены точки A и B соответственно. При этом LA : AK = 2:3 MB:BL=2:5. Какой процент от площади четырёхугольника KABM составляет площадь треугольника ALB?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем отношение сторон треугольника ALB к треугольнику KLM.

Пусть LA = 2x, AK = 3x, MB = 2y, BL = 5y.
Тогда площади треугольников ALB и KLM будут пропорциональны как произведения баз и высот:
S(ALB)/S(KLM) = (2x 5y) / (5y 3x) = 10 / 15 = 2 / 3.

Теперь найдем площадь треугольника ALB. Пусть h - высота треугольника ALB проведенная из вершины L. Тогда
S(ALB) = 0.5 2x h = x * h.

Так как S(ALB) = 2/5 S(KABM), то x h = 2/5 (x + 5y) h, x = 2/5 * (x + 5y), 3x = 2y.

Из уравнения x = 2/5 * (x + 5y) следует, что x = 2y/3, а из условия 3x = 2y следует x = 2y/3.

Подставим x = 2y/3 в формулу S(ALB) = x h, получим S(ALB) = 2y/3 h.

Теперь найдем площадь четырехугольника KABM: S(KABM) = S(KLM) + S(ALB) = 3x h + 2y/3 h = 18/3y h + 2y/3 h = 20/3 y h.

Таким образом, площадь треугольника ALB составляет 2 / 3 S(KLM), или в четырехугольнике KABM - 2 / 5 S(KABM).

Следовательно, площадь треугольника ALB составляет 40% от площади четырехугольника KABM.