Корни квадратного уравнения ax^2+bx+c в 2007 раз больше корней квадратного уравнения cx^2+dx+a .Доказать, что b^2 = d^2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть корни первого уравнения - p и q, а корни второго уравнения - r и s.

Тогда по условию задачи имеем:

pq = 2007r*s (1)

p + q = -b/a (2)

r + s = -d/c (3)

Так как корни квадратного уравнения ax^2 + bx + c - это p и q, то по определению эти корни удовлетворяют уравнению ax^2 + bx + c = 0. Тогда:

ap^2 + bp + c = 0 (4)

aq^2 + bq + c = 0 (5)

Из уравнений (4) и (5) получаем:

a(p^2 - q^2) + b(p - q) = 0

a(p + q)(p - q) + b*(p - q) = 0

a(-b/a)(p - q) + b*(p - q) = 0

b(p - q) - b(p - q) = 0

Из этого следует, что b*(p - q) = 0, т.е. b = 0 или p = q.

Аналогично для уравнения cx^2 + dx + a можно показать, что d = 0 или r = s.

Так как корни уравнений различны, то p ≠ q и r ≠ s. Пусть тогда b ≠ 0 и d ≠ 0.

Теперь из уравнений (2) и (3) можно выразить p и q через b и d:

p = -b/(2a), q = -b/(2a)

r = -d/(2c), s = -d/(2c)

Тогда из уравнения (1) получаем:

(-b/(2a))(-b/(2a)) = 2007(-d/(2c))*(-d/(2c))

b^2/(4a^2) = 2007*d^2/(4c^2)

b^2 = 2007*d^2

Отсюда получаем, что b^2 = d^2. Таким образом, доказано, что корни квадратных уравнений удовлетворяют условию b^2 = d^2.