Задача по алгебре Докажите, что квадрат целого числа может начинаться с любого набора цифр
(решение без логарифмов)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что квадрат любого числа заканчивается либо на 0, либо на 1, либо на 4, либо на 5, либо на 6, либо на 9. Это можно легко проверить, возводя в квадрат числа от 0 до 9.

Теперь заметим, что если квадрат числа заканчивается на n, то число само заканчивается на корень из n. Например, если квадрат числа оканчивается на 9, то само число оканчивается на 3 или 7 (так как квадраты 3 и 7 оканчиваются на 9).

Теперь рассмотрим различные наборы цифр, с которых может начинаться квадрат числа:

Если квадрат числа начинается с нуля, то и число начинается с нуля. Это справедливо, так как квадрат любого числа, начинающегося с нуля, заканчивается на 0.Если квадрат числа начинается с единицы, то число начинается с 1. Это справедливо, так как квадраты чисел от 1 до 3 начинаются на 1.Если квадрат числа начинается с четырех, то число начинается с 2. Это справедливо, так как квадраты чисел от 2 до 4 начинаются на 4.Если квадрат числа начинается с пятерки, то число начинается с 2. Это справедливо, так как квадраты чисел от 7 до 8 начинаются на 5.Если квадрат числа начинается с шестерки, то число начинается с 3. Это справедливо, так как квадраты чисел от 7 до 8 начинаются на 6.Если квадрат числа начинается с девятки, то число начинается с 3. Это справедливо, так как квадраты чисел от 9 до 10 начинаются на 9.

Таким образом, мы доказали, что квадрат целого числа может начинаться с любого набора цифр.