найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном промежутке y=3x*|x+1|-x^3, x∈[-1;2]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции y=3x*|x+1|-x^3 на промежутке x∈[-1;2] нужно сначала найти все критические точки функции в данном интервале. Критические точки - это точки, где производная функции равна нулю или не существует.

Найдем производную функции y=3x|x+1|-x^3 по x:
y' = 3|x+1| + 3x*sgn(x+1) - 3x^2

где sgn(x) - это функция signum, которая равна -1 при x<0, 1 при x>0 и 0 при x=0.

Рассмотрим критические точки:
а) В точках, где x+1>0 (то есть x>-1):
y' = 3(x+1) + 3x - 3x^2 = 6x + 3 - 3x^2

б) В точках, где x+1<0 (то есть x<-1):
y' = 3(x+1) - 3x - 3x^2 = -6x + 3 - 3x^2

Найдем точки максимума и минимума функции. Для этого решим уравнения y'=0:
а) Для x>-1:
6x + 3 - 3x^2 = 0
3x^2 - 6x - 3 = 0
x^2 - 2x - 1 = 0
D = 4 + 4 = 8
x1 = (2 + √8)/2 = 1+√2
x2 = (2 - √8)/2 = 1-√2

б) Для x<-1:
-6x + 3 - 3x^2 = 0
3x^2 + 6x - 3 = 0
x^2 + 2x - 1 = 0
D = 4 + 4 = 8
x1 = (-2 + √8)/2 = -1+√2
x2 = (-2 - √8)/2 = -1-√2

Теперь найдем значения функции в найденных точках и на концах интервала x∈[-1;2]:

y(-1) = 3(-1)|-1+1|-(-1)^3 = 0y(2) = 32|2+1|-2^3 = -6

Найдем значения функции в найденных критических точках:

y(1+√2) = 3(1+√2)|1+√2+1|-(1+√2)^3y(1-√2) = 3(1-√2)|1-√2+1|-(1-√2)^3y(-1+√2) = 3(-1+√2)|-1+√2+1|-(-1+√2)^3y(-1-√2) = 3(-1-√2)|-1-√2+1|-(-1-√2)^3

Таким образом, наименьшее и наибольшее значения функции на заданном промежутке:

Минимальное значение функции: y(-1) = 0Максимальное значение функции: y(2) = -6