Исследовать на экстремум функцию u=2*((x-y)^2)+3*((y+z)^2)+((z-x)^2)-y+z

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения экстремума функции u=2((x-y)^2)+3((y+z)^2)+((z-x)^2)-y+z, найдем частные производные по переменным x, y, z и приравняем их к нулю.

∂u/∂x = 4(x-y) - 2(z-x) = 0
∂u/∂y = -4(x-y) + 6(y+z) - 1 = 0
∂u/∂z = -3(y+z) + 2(z-x) + 1 = 0

Решим эту систему уравнений.

Из первого уравнения: 4x - 4y - 2z + 2x = 0
6x - 4y - 2z = 0

Из второго уравнения: -4x + 4y - 6y - 6z - 1 = 0
-4x - 2 + 6z = 0

Из третьего уравнения: -3y - 3z + 2z - 2x + 1 = 0
-2x - 3y - 3z + 1 = 0

Сложим последние два уравнения: 6x - 4y - 2z + 4x - 2 = 0
10x - 4y - 2z - 2 = 0

Теперь подставим полученное значение x в первое уравнение: 6*(10y - 2z - 2) - 4y - 2z = 0
60y - 12z - 12 - 4y - 2z = 0
56y - 14z - 12 = 0

Теперь подставим полученные значения y и z в уравнение для x: 10(10x - 2) - 4(56y - 14z - 12) - 2 = 0
100x - 20 - 224y + 28z + 48 - 2 = 0
100x - 224y + 28z +26 = 0

Таким образом, экстремум функции достигается при x = 0, y = -1, z = -2.

Подставим эти значения в исходную функцию и получим u = 47.

Таким образом, нашли точку экстремума и значение функции в этой точке.