При каком наибольшем значении k для любых трёх действительных чисел а,в,с, сумма которых равна 1, выполняется неравенство (а+в)(в+с)(с+а) ≥ kавc

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для любых трёх действительных чисел а, в, с, сумма которых равна 1, выполняется неравенство (а+в)(в+с)(с+а) ≥ kавc при k = 1/27.

Для доказательства этого факта, можно вспомнить неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для трёх чисел:

Для любых трёх чисел а, в, с справедливо неравенство: (а+в+с)/3 ≥ ∛(авс)

Применяя это неравенство к числам (а+в), (в+с) и (с+а), получаем:
(а+в+в+с+с+а)/3 ≥ ∛((а+в)(в+с)(с+а))

Учитывая, что сумма а, в, с равна 1, получаем:
2/3 ≥ ∛((а+в)(в+с)(с+а))

Кубируя обе части неравенства, получаем:
8/27 ≥ (а+в)(в+с)(с+а)

Таким образом, наибольшее значение k, при котором выполнится неравенство (а+в)(в+с)(с+а) ≥ kавc для всех чисел а, в, с, сумма которых равна 1, равно 1/27.