Докажите, что при любых а и b уравнение[tex]( {a}^{2} - {b}^{2} ) {x}^{2} + 2( {a}^{3} - {b}^{3} )x + ( {a}^{4} - {b}^{4} ) = 0[/tex]имеет решение.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данное уравнение можно переписать в виде:

[tex]({a}^{2} - {b}^{2})x^2 + 2({a}^{3} - {b}^{3})x + ({a}^{4} - {b}^{4}) = 0[/tex]

Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

Если уравнение имеет вид [tex]Ax^2 + Bx + C = 0[/tex], то его корни определяются следующим образом:

[tex]x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}[/tex]

В нашем случае A = [tex]({a}^{2} - {b}^{2})[/tex], B = 2[({a}^{3} - {b}^{3})], C = [({a}^{4} - {b}^{4})]

Дискриминант D уравнения равен:

[tex]D = B^2 - 4AC = 4({a}^{3} - {b}^{3})^2 - 4({a}^{2} - {b}^{2})({a}^{4} - {b}^{4})[/tex]

[tex]D = 4({a}^{6} - 2{a}^{3}{b}^{3} + {b}^{6}) - 4({a}^{6} - {a}^{2}{b}^{4} - {a}^{4}{b}^{2} + {b}^{6})[/tex]

[tex]D = 4{a}^{6} - 8{a}^{3}{b}^{3} + 4{b}^{6} - 4{a}^{6} + 4{a}^{2}{b}^{4} + 4{a}^{4}{b}^{2} - 4{b}^{6}[/tex]

[tex]D = 4{a}^{2}{b}^{4} + 4{a}^{4}{b}^{2}[/tex]

[tex]D = 4{a}^{2}{b}^{2}({a}^{2} + {b}^{2})[/tex]

Таким образом, дискриминант уравнения всегда положителен, что означает, что уравнение [tex]({a}^{2} - {b}^{2})x^2 + 2({a}^{3} - {b}^{3})x + ({a}^{4} - {b}^{4}) = 0[/tex] имеет хотя бы одно решение для любых a и b.