Найдите объем правильной шестиугольной призмы, если площадь самого большого диагонального сечения равна Q, а расстояние между противоположными боковыми сторонами~- b

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте разберемся с геометрическими данными правильной шестиугольной призмы.

Поскольку призма правильная, то у всех ее граней стороны равны и все углы равны 120 градусов.

Сечение призмы плоскостью, проходящей через одну из боковых сторон и вершину противоположной боковой стороны, будет являться равносторонним треугольником. Площадь такого треугольника равна s^2 * sqrt(3)/4, где s - длина стороны.

Площадь самого большого диагонального сечения (равносторонний треугольник) равна Q, а его сторона равна 2b. Следовательно, площадь равностороннего треугольника равна 3b^2 * sqrt(3)/4.

Найдем длину стороны s равностороннего треугольника, используя данную площадь:

3b^2 sqrt(3)/4 = s^2 sqrt(3)/4
3b^2 = s^2
s = sqrt(3)*b

Таким образом, длина стороны призмы равна sqrt(3)*b.

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту. Площадь основания призмы равна 3 (sqrt(3)b)^2 sqrt(3)/4 = 9/4 3 b^2 = 27/4 b^2.

Призма состоит из 6 таких оснований, а высота призмы равна sqrt(3)*b. Следовательно, объем V призмы равен:

V = 6 27/4 b^2 sqrt(3)b = 81/2 b^3 sqrt(3)

Таким образом, объем правильной шестиугольной призмы равен 81/2 b^3 sqrt(3).