Сколько существует шестизначных чисел, которые при любой перестановке цифр
делятся на каждую свою цифру и в которых каждая цифра не меньше предыдущей?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти количество таких шестизначных чисел, давайте рассмотрим последнюю цифру числа. Так как каждая цифра не меньше предыдущей, то самая большая цифра будет в конце числа. Также, так как число должно делиться на каждую свою цифру, то оно должно быть кратно каждой цифре.

Последняя цифра может быть только 0, 5 или 6, так как это единственные цифры, на которые могут делиться все другие цифры. Рассмотрим случаи для каждой из этих цифр:

Последняя цифра 0:
В этом случае все остальные цифры могут быть любыми из {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Количество таких чисел будет равно числу перестановок этих цифр без учета последней, то есть 9!.

Последняя цифра 5:
В этом случае все остальные цифры должны быть {1, 2, 3, 4, 5}. Рассмотрим все возможные упорядоченные наборы таких цифр:

1, 2, 3, 4, 5, 5
В данном случае число будет делиться на 1, 2, 3, 4 и 5.2, 3, 4, 5, 5, 5
В данном случае число будет делиться на 2, 3, 4 и 5.3, 4, 5, 5, 5, 5
В данном случае число будет делиться на 3, 4 и 5.
Количество таких чисел будет равно 3! + 2! + 1! = 9.

Последняя цифра 6:
В этом случае все остальные цифры должны быть {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Рассмотрим все возможные упорядоченные наборы таких цифр:

1, 2, 3, 4, 5, 6
В данном случае число будет делиться на 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
Количество таких чисел будет равно 1.

Итак, общее количество шестизначных чисел, удовлетворяющих условиям задачи, равно 9! + 9 + 1 = 362881.