При скольких натуральных значениях n выражение (n^3+3n-20):2n является целым числом?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Рассмотрим выражение (n^3 + 3n - 20) / 2n

Так как выражение должно быть целым числом, то (n^3 + 3n - 20) должно быть кратно 2n.

Разложим выражение n^3 + 3n - 20:

n^3 + 3n - 20 = n^3 + 5n - 2n - 20 = n(n^2 + 5) - 2(n + 10)

Таким образом, (n^3 + 3n - 20) делится на 2n, если n(n^2 + 5) - 2(n + 10) делится на 2n.

Так как n(n^2 + 5) может быть кратно 2n только при n = 2, то рассмотрим это значение:

2(2)(2^2 + 5) - 2(2 + 10) = 2(4 + 5) - 2(12) = 18 - 24 = -6

Таким образом, при n = 2 выражение (n^3 + 3n - 20) / 2n будет целым числом.

Ответ: уравнение будет целым числом только при n = 2.