Доказать следующие утверждения. При любом натуральном n число n (n^2+5) делится на 6

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения, можно воспользоваться методом математической индукции.

База индукции:
При n = 1:
n(n^2 + 5) = 1(1^2 + 5) = 6, что делится на 6.

Предположение индукции:
Пусть утверждение верно для некоторого натурального числа k, т.е. k(k^2 + 5) делится на 6.

Индукционный переход:
Докажем, что утверждение верно и для k+1.
(k+1)((k+1)^2 + 5) = (k+1)(k^2 + 2k + 1 + 5) = (k+1)(k^2 + 2k + 6) = k(k^2 + 5) + 2k(k^2 + 5) + 6(k+1).

По предположению индукции, первые два члена k(k^2 + 5) и 2k(k^2 + 5) делятся на 6.
Последний член 6(k+1) также делится на 6.

Таким образом, сумма всех трех членов делится на 6.

Таким образом, утверждение доказано методом математической индукции.