Сколько существует натуральных чисел, не превышающих
10000, которые делятся либо на 70, либо на 102, но не делятся
ни на 15, ни на 119? Ответ обосновать

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы решить эту задачу, найдем сколько чисел делятся на 70, сколько на 102 и сколько на их наименьшее общее кратное, т.е. 714.

Чисел, делящихся на 70 в интервале от 1 до 10000:
[ \left\lfloor \frac{10000}{70} \right\rfloor = 142 ]

Чисел, делящихся на 102 в интервале от 1 до 10000:
[ \left\lfloor \frac{10000}{102} \right\rfloor = 98 ]

Чисел, делящихся на 714 в интервале от 1 до 10000:
[ \left\lfloor \frac{10000}{714} \right\rfloor = 13 ]

Теперь найдем количество чисел, которые делятся на 70 или на 102, но не делятся ни на 15, ни на 119. По формуле включения-исключения:
[ \text{число} = \text{число, делящихся на 70} + \text{число, делящихся на 102} - \text{число, делящихся на 714} ]

[= 142 + 98 - 13 = 227 ]

Таким образом, количество натуральных чисел, не превышающих 10000, которые делятся либо на 70, либо на 102, но не делятся ни на 15, ни на 119, равно 227.