Постройте график функции у= (х^2+2х)/(х^3+2х^2) и определите, при каких значениях k прямая у=kx имеет с графиком не более одной общей точки.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала построим график функции у= (x^2+2x)/(x^3+2x^2):

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-10, 10, 1000)
y = (x2 + 2*x) / (x*3 + 2x2)

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graph of y = (x^2 + 2x) / (x^3 + 2x^2)')
plt.grid()
plt.show()

Теперь найдем точки пересечения прямой у= kx с графиком функции у= (x^2+2x)/(x^3+2x^2). Для этого решим уравнение:

kx = (x^2 + 2x) / (x^3 + 2x^2)

kx*(x^3 + 2x^2) = x^2 + 2x

kx^4 + 2kx^3 = x^2 + 2x

kx^4 + 2kx^3 - x^2 - 2x = 0

Для того чтобы прямая y = kx имела не более одной общей точки с графиком данной функции, дискриминант этого уравнения должен быть меньше или равен нулю:

D = b^2 - 4ac

В изначальном уравнении a = k, b = 2k, c = -1, d = -2:

D = (2k)^2 - 4k(-1)*(-2) = 4k^2 + 8k <= 0

Теперь найдем значения k, при которых это неравенство выполняется:

4k^2 + 8k <= 0

4k(k + 2) <= 0

Таким образом, чтобы прямая у= kx имела не более одной общей точки с графиком функции у= (x^2+2x)/(x^3+2x^2), необходимо, чтобы значение k лежало в интервале -2 <= k <= 0.