Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1 с основаниями ABC и A1B1C1. Скрещивающиеся диагонали BA1 и CB1 боковых граней AA1B1B и BB1C1C перпендикулярны.
Докажите, что AB:AA1=√2:1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи видим, что треугольники ABB1 и A1BC перпендикулярны, а также подобны (так как у них соответственные углы равны).

Таким образом, имеем:

AB/AA1 = BB1/BC = AD/DC,

где AD - высота треугольника ABB1, а DC - высота треугольника ABC.

Теперь рассмотрим треугольник ABB1. По теореме Пифагора имеем:

AB^2 = AA1^2 + BB1^2.

Так как BB1 = AB/√2 (так как BA1 и BC1 перпендикулярны и делют прямые углы), подставляем это значение в предыдущее равенство:

AB^2 = AA1^2 + (AB/√2)^2.

AB^2 = AA1^2 + AB^2/2.

Умножаем обе части уравнения на 2:

2AB^2 = 2AA1^2 + AB^2.

AB^2 = 2AA1^2,

AB/AA1 = √2 / 1.

Таким образом, доказано, что AB/AA1 = √2 / 1.